<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt]{annales}
\parskip=3mm
\begin{document}


\begin{flushright}
{\taille{14}\textbf{Session 2001}}
\end{flushright}

\bigskip
\begin{center}
{\taille{16}\textbf{BACCALAUR\'EAT TECHNOLOGIQUE}}

\bigskip
{\taille{16}\textbf{SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES}}

\bigskip

\begin{tabular}{l}
\textbf{Génie Mécanique} \\
~~~~~~~~~\textbf{Option A : Productique Mécanique} \\
~~~~~~~~~\textbf{Option F : Microtechniques} \\[2ex]
\textbf{Génie Énergétique} \\[2ex]
\textbf{Génie Civil} \\
\end{tabular} 

\bigskip
{\taille{16}\textbf{MATH\'EMATIQUES}}

\end{center} 

\textbf{Durée : 4 heures}\hfill
\textbf{Coefficient : 4}


\begin{center}

\rule{35mm}{0.4mm}

\bigskip
\textbf{\textit{L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.}}

\bigskip
\rule{35mm}{0.4mm}

\end{center}


\medskip
\textbf{Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.}\\
\textbf{Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.}

\medskip
\textit{\textbf{Dès que le sujet vous est remis assurez vous qu'il est complet, que toutes les pages sont imprimées.}}

\bigskip
\textit{\textbf{Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.}}

\medskip
\textit{\textbf{Ce sujet nécessite deux feuilles de papier millimétré.}}

\vfill
\centerline{\textbf{1/3}}

\newpage

\textbf{Exercice 1 (5 points)}

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(O,\,\vec u,\,\vec v)$ d'unité graphique 1 cm. On
considère les points $A$, $B$, $C$ d'affixes respectives :

\centerline{$z_A=\sqrt{3}+3{\rm i}$~~;~~$z_B=2\sqrt{3}$~~et~~$z_C=2{\rm i}$.}

\qst Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan complexe (sur papier millimétré).

\qst Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_A$.

\qstssq Calculer les modules des nombres complexes $z_A-z_C$, $z_B-z_A$ et $z_B-z_C$.\\
En déduire la nature du triangle $ABC$.
\ssq Déterminer l'affixe du centre $K$ du cercle ($\Gamma$) circonscrit au triangle $ABC$ ; préciser le rayon $r$ de ce cercle.
\ssq Montrer que le point $O$ appartient au cercle ($\Gamma$).

\qst On considère le point $D$, d'affixe $z_D=2\,{\rm e}^{-{\rm i}\frac{\pi}{6}}$.
\ssq Montrer que $z_D=\sqrt{3}-{\rm i}$.
\ssq Calculer l'affixe du milieu $M$ du segment [$AD$].
\ssq Démontrer que le quadrilatère $ABDC$ est un rectangle.

\bigskip\bigskip\numqst1
\textbf{Exercice 2 (4 points)}

\qst Résoudre l'équation différentielle : $4y''+y=0$.

\qst Déterminer la solution particulière de cette équation différentielle vérifiant 
$
\left \{
\begin{array}{l}
f(\pi)=\sqrt{3}\\
f'(\pi)=-\dfrac{1}{2}.
\end{array} 
\right .
$

\qst Montrer que cette solution $f$ vérifie, pour tout $x$ réel : 
$f(x)=2\cos\left (\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3}\right )$.

\qst Résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'équation d'inconnue $x$ : $f(x)=1$ ; en donner les solutions appartenant à l'intervalle [0 ; $4\pi$[. 

\vfill
\centerline{\textbf{2/3}}


\newpage\numqst1
\textbf{Problème (11 points)}

Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O,\vec\imath,\vec\jmath)$ (unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses, 1 cm sur l'axe des ordonnées).\\
Soit $f$ la fonction définire sur ]$-\infty$ ; $+\infty$[ par $f (x) = 3{\rm e}^{-x}+2x-4$.

\medskip
\textbf{Partie A : Construction de la courbe représentative de $\boldsymbol{f}$}

\qstssq Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\ssq Vérifier que $f(x)={\rm e}^{-x}(3+2x{\rm e}^{x}-4{\rm e}^{x})$. Déterminer alors la limite de $f$ en $-\infty$.
\ssq Soit (C) la courbe représentative de $f$ et soit (D) la droite d'équation : $y=2x-4$.\\
Montrer que (D) est asymptote à (C) en $+\infty$ et étudier la position relative de la droite (D) par rapport à la courbe (C).

\qstssq Calculer la dérivée de $f$. Résoudre l'inéquation d'inconnue réelle $x$ :  $-3{\rm e}^{-x}+2\ge0$.
\ssq Dresser le tableau de variation de $f$.
\ssq Donner une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 0.
\ssq Déterminer les valeurs exactes du minimum et du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle [$-2$ ; 5].

\qst Tracer (C), (D) et (T) dans le repère $(O,\vec\imath,\vec\jmath)$ pour $x$ variant de $-2$ à 5 (sur papier millimétré).

\bigskip\bigskip\numqst1
\textbf{Partie B : Calcul d'une aire}

\qst Chercher une primitive de $f$ sur ]$-\infty$ ; $+\infty$[.

\qstssq Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet sur ]1 ; 2[ une unique solution $\alpha$ dont on donnera une valeur approchée au dixième près.
\ssq Préciser, en le justifiant, le signe de $f(x)$ sur l'intervalle ]$\alpha$ ; $+\infty$[.
\ssq Calculer, en cm$^{2}$, l'aire du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=\alpha$ et $x=4$. En donner une valeur approchée en utilisant pour~$\alpha$ la valeur approchée trouvée précédemment.

\vfill
\centerline{\textbf{3/3}}

\end{document}</pre></body></html>